Gruppe: (G, +)
* assoziativ: (a + b) + c = a + (b + c) | alle a, b, c element G
* neutrales element
* inverses element

Untergruppe: (U, +)
* (U, +) ist Gruppe
* U teilmenge G
+ erzeugend, wenn <U> = G ("Erzeugendensystem")

Abelsche Gruppe: (G, +)
* (G, +) ist Gruppe
* kommutativ: a + b = b + a | alle a, b element G
+ endlich erzeugt: es existiert M | <M> = G und M endlich

Ring: (R, +, *)
* (R, +) ist abelsche Gruppe
* (R, *) ist assoziativ
* distributiv: a * (b + c) = a * b + a * c und (a + b) * c = a * c + b * c  | alle a, b, c element R

Kommutativer Ring: (R, +, *)
* (R, +, *) ist Ring
* (R, *) ist kommutativ

Ring mit Eins: (R, +, *)
* (R, +, *) ist Ring
* neutrales element von (R, *) existiert

Kommutativer Ring mit Eins: (R, +, *)
* (R, +, *) ist Kommutativer Ring
* neutrales element von (R, *) existiert

Körper: (K, +, *)
* (K, +) ist abelsche Gruppe
* (K\{0}, *) ist abelsche Gruppe
* distributiv: a * (b + c) = a * b + a * c und (a + b) * c = a * c + b * c  | alle a, b, c element K

Vektorraum: V über K
* n-dimensionales Tupel über einem Körper K
+ K-Vektorraum
+ (V, +) ist abelsche Gruppe
+ skalarmultiplikation K x V -> V ist assoziativ, distributiv und es gibt ein neutrales Element ("1")
+ lineare Hülle: [M]
+ erzeugende Menge: [M] = V
+ Basis: [B] = VR und es ex. nicht B': (B' echte teilmenge B | [B'] = V)

Relationen: R ~ R
+ reflexiv: x ~ x | alle x element R
+ symmetrisch a ~ b = b ~ a | alle a, b element R
+ transitiv: a ~ b und b ~ c => a ~ c
kombi nennt man Äquivalenzrelation

Lineare Abbildungen: f: V -> W | (V, W seien K-Vektorräume)
* f(0_V) = 0_W, sonst nicht linear!
+ Definitionsmenge: V
+ Zielmenge: W
+ Bild: {f(v) | alle v element V} teilmenge W
+ Urbild: {v | alle v element V: f(v) ex.} teilmenge V
+ Kern: {v | alle v element V: f(v) = 0} teilmenge V
+ Abbildungsmatrix W^A_B(f) = P existiert mit Pd = f(d)
+ injektiv -> linkseindeutig (x = y <=> f(x) = f(y) | alle x, y element V)
           f injektiv <=> kern(f) = {0} element V
+ surjektiv -> rechtstotal (für alle b element W: es existiert x element V: b = f(x))
+ bijektiv -> injektiv und surjektiv
+ homomorph: f(lx + my) = lf(x) + mf(y) | x, y element V und l, m element K
+ isomorph: Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
+ endomorph: V = W ("Selbstabbildung")
+ automorph: Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus.
+ dim V = dim kern(f) + dim bild(f)